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有限域的特征为什么是素数

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2024-03-10 11:33:19

有限域的特征特性

有限域的特征一定是素数,它元素数量就是他们特征的幂

有限域的前提条件

结合F={a，b，…}，对F的元素界定了二种运算：“ ”和“*”，并符合下列3种情况，

·F1：F的元素有关运算“ ”组成交换群，设其企业元素为0。

·F2：F\\{0}的元素有关运算“*”组成交换群。即F中元素清除元素0后，有关*法组成交换群。

·F3：分配律创立，即针对随意元素

a，b，c∈F，

恒有

a*(b c)=(b c)*a=a*b a*c

p是素数时，可证F{0，1，2，…，p-1}，在modp实际意义下，有关求合运算“ ”，及相乘“*”，形成了域。F域的元素数量比较有限时称之为有限域。

有限域的阶

有限域元素的数量称之为有限域的阶。针对有限域，其元素的数量一定是素数的幂。而且这个相对应的素数变成有限域的特征。在编号账号和密码基础理论里边2^n阶有限域普遍使用，具备十分重要意义。

而另一个，全部级别同样的有限域是设计构成的。换句话说，从根本上讲，给出有限域的阶，有限域就唯一确认了。

费马小定理有限域营销推广

假定一个有限域的阶是q=p^n,那对于有限域里边任意一个元素x,x^q=x,就是这个数论中费马小定理在有限域中推广。

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我来帮你解释。

第一个问题，GF（8）是如何结构的。

域有两种，有限域和无尽域，这不仅是依据域中元素的数目来区分的，是根据域的特征来区分的。如果一个域的特征是0，那么这样的域是无尽域，例如Q，C。假如域的特征是p，那么这样的域便是有限域，而且域中元素的数量一定是p^n个，这儿p是素数。

针对有限域GF（q）的结构，假如q是素数，那样模q的剩余类环就是你要结构的域。不然，假如q是素数方幂，那样GF(q)设计构成于GF(p)[x]/f(x),f(x)是GF（p）里的不可约n次代数式。

说这些或许你不太明白，用自己的事例而言更准确。

GF(8)=GF(2^3),为了能结构这一域，只能找一个在GF（2）上不能约的三次多项式，例如f(x)=x^3 x 1(所说在GF（2）上不可约，便是0，1不是这一代数式须根)，那样GF(2)[x]/f(x)便是GF(8).把它元素都表达出来

GF(2)[x]/f(x)={a bx cx^2,a,b,cinGF(2)}

表达出来有8个元素{0,1,x,x 1,x^2 1,x^2 x,x^2 x 1}.

他的运算都依照模掉f（x）加进来，乘。

第二个难题

本源块的数量，GF(8)的乘除法群是8-1=7阶循环群，那样本源块的数量就是phi(7)=6,这里phi是欧拉函数。

希望你能够看明白，有问题还可以再探讨。